Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(|z + 2 - i|...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\)và dựa vào các điều kiện của đề bài để tìm a, b

Giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\)ta có

\(\left| {z + 2 - i} \right| = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {a + 2 + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 8\)                        (1)

\({\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1 + bi} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} - {b^2} + 2\left( {a - 1} \right)bi\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} - {b^2} = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\\\left( {a - 1} \right)b \ne 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) có

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 8\\{\left( {a - 1} \right)^2} - {b^2} = 0\\\left( {a - 1} \right)b \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = a - 1\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {a - 2} \right)^2} = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 1 - a\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {a^2} = 8\end{array} \right.\\\left( {a - 1} \right)b \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = a - 1\\2{a^2} = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 1 - a\\2{a^2} + 4a - 4 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\b \ne 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0;b =  - 1\\a =  - 1 \pm \sqrt 3 ;b = 2 \mp \sqrt 3 \end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy có 3 số phức thỏa mãn đề bài

Chọn C