Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với m...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh tứ giác \(AEFH\) nội tiếp, từ đó tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EHF\).

- Tìm đỉnh hình nón và tính chiều cao, bán kính đáy rồi suy ra thể tích.

Giải chi tiết:

Xét tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có \(SA = a\sqrt 3 ,AD = 3a \Rightarrow \widehat {SDA} = {30^0}\) \( \Rightarrow \widehat {MAI} = {30^0}\).

Lại có tam giác \(SAI\) vuông tại \(A\) có \(SA = a\sqrt 3 ,AI = a \Rightarrow \widehat {SIA} = {60^0}\) nên tam giác \(AHI\) có \(\widehat H = {90^0}\) hay \(AH \bot SI\)

Mà \(AH \bot IC\) do \(IC//BA \bot \left( {SAD} \right)\) nên \(AH \bot \left( {SIC} \right)\) \( \Rightarrow AH \bot SC\).

Ngoài ra, \(AE \bot SB,AE \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAB} \right)} \right) \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AE \bot SC\).

Mà \(AF \bot SC\) nên \(SC \bot \left( {AEFH} \right)\) và \(AEFH\) là tứ giác có \(\widehat E = \widehat H = {90^0}\) nên nội tiếp đường tròn tâm \(K\) là trung điểm \(AF\) đường kính \(AF\).

Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\) thì \(OK//SC\), mà \(SC \bot \left( {AEFH} \right)\) nên \(OK \bot \left( {AEFH} \right)\) hay \(O\) chính là đỉnh hình nón và đường tròn đáy là đường tròn đường kính \(AF\).

Ta tính \(AF,OK\).

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) đường cao \(AF\) nên

\(AF = \dfrac{{SA.AC}}{{SC}} = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\); \(OK = \dfrac{1}{2}CF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{C{A^2}}}{{CS}} = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy thể tích \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{a}{{\sqrt 5 }}.{\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{10\sqrt 5 }}\).

Chọn C.