Giải phương trình nghiệm nguyên \({x^2} + {y^2} +...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính chẵn lẻ của $x,\,\,y$ từ đó tìm số dư của tổng bình phương 2 số khi chia cho 4.

Tìm nghiệm tổng quát rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9{x^2}{y^2} \Leftrightarrow {z^2} = 9{x^2}{y^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right).$

Nếu $x,\,\,y$ lẻ thì

                 $\begin{array}{l}{\left( {3xy} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 9 - \left( {1 + 1} \right) = 7 \equiv 3\,\,\left( {\bmod 4} \right)\\ \Rightarrow {z^2} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 4} \right)\,\,\left( {loai} \right)\end{array}$

Do đó trong 2 số $x,\,\,y$ có ít nhất 1 số chẵn. Giả sử x chẵn $\Rightarrow x = 2{x_0}\left( {{x_0} \in \mathbb{N}} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4x_0^2 + {y^2} + {z^2} = 36x_0^2y\\ \Leftrightarrow {y^2} + {z^2} = 4\left( {9x_0^2y - x_0^2} \right)\\ \Rightarrow {y^2} + {z^2} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \equiv 0\,\,\left( {\bmod 2} \right)\\z \equiv 0\,\,\left( {\bmod 2} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Tương tự ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} \vdots {2^k}\\{y_0} \vdots {2^k}\\{z_0} \vdots {2^k}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = 0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;0} \right)$.