Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là một điểm bất...

- Hướng dẫn giải

Chú ý đến hai tam giac vuông chung cạnh huyền là AEM, AFM, ta gọi I là trung điểm của AM, ta có IA = IE = IM = IF.

Như vậy EF là cạnh đáy tam giác cân IEF. Dễ thấy $\widehat{EIF}=2\widehat{EAF}$ mà $\widehat{EAF}$ không đổi nên $\widehat{EIF}$ không đổi.

Tam giác cân EIF có số đo góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất.

Do đó EF nhỏ nhất <=> IE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất. Khi đó M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.