Cho dãy số (un) thỏa mãn \(\left\{ \beg...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Với dãy số có dạng: \({u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + m}}{{1 - m{u_n}}}\) ta đặt \({u_1} = \tan a;m = \tan b\) từ đó suy ra

\({u_2} = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \tan \left( {a + b} \right)\) và công thức tổng quát \({u_n} = \tan \left[ {a + \left( {n - 1} \right)b} \right]\)

Giải chi tiết:

Đặt \({u_1} = 2 = \tan a;\sqrt 2  - 1 = \tan b{\rm{ }}\left( {a,b \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\). Tìm b:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{{\cos }^2}b}} = 1 + {\tan ^2}b = 1 + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 2 \Rightarrow {\cos ^2}b = \frac{1}{{4 - 2\sqrt 2 }} = \frac{{4 + 2\sqrt 2 }}{8} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{4}\\ \Rightarrow \cos 2b = 2{\cos ^2}b - 1 = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow 2b = \frac{\pi }{4} \Rightarrow b = \frac{\pi }{8}\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}{u_2} = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \tan \left( {a + b} \right)\\{u_3} = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan b}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right)\tan b}} = \tan \left( {a + 2b} \right)\\...\\{u_n} = \tan \left[ {a + \left( {n - 1} \right)b} \right]\end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}{u_{2018}} = \tan \left[ {a + 2017.\frac{\pi }{8}} \right] = \tan \left[ {a + \frac{\pi }{8} + 252\pi } \right] = \tan \left( {a + \frac{\pi }{8}} \right)\\ = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \frac{{2 + \sqrt 2 - 1}}{{1 - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{3 - 2\sqrt 2 }} = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) = 7 + 5\sqrt 2 \end{array}\)

Chọn đáp án A