Chứng tỏ rằng H chia hết cho 155, biết H...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất chia hết: \( a \vdots 155 \Rightarrow ab \vdots 155 \).

Tìm số các số hạng của dãy số H, nhóm các hạng tử một cách hợp lý để đưa về dạng: \(  ab \vdots 155 \) có \( a \vdots 155 \).

Giải chi tiết:

Tổng H có (100 - 1) : 1 + 1 = 100 số hạng

Do 100 chia hết cho 4 nên ta có thể chia H thành từng nhóm 4 số hạng:

   H = (2 + 2² + 2³+2⁴) + (2⁵ + 2⁶+ 2⁷+2⁸) + ...+ (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹+2¹⁰⁰)

       = 2.(1 +2+2² + 2³) + 2⁵.(1 +2+2² + 2³) + ...+ 2⁹⁷.(1+2+2² + 2³)

       = 2.15 + 2⁵.15 + ... + 2⁹⁷.15

       = 15.(2 + 2⁵ + ... + 2⁹⁷)

Suy ra H15. Vì 155 nên H5

Do 100 chia hết cho 5 nên ta có thể chia H thành từng nhóm 5 số hạng:

 H = (2 + 2² + 2³+2⁴+2⁵) + (2⁶+ 2⁷+2⁸+2⁹+2¹⁰) + ...+ (2⁹⁶ +2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹+2¹⁰⁰)

     = 2.(1 +2+2² + 2³+2⁴) + 2⁶.(1 +2+2² + 2³+2⁴) + ...+ 2⁹⁶.(1 +2+2² + 2³+2⁴)

     = 2.31 + 2⁶.31 + ... + 2⁹⁶.31

     = 31.(2 + 2⁶ + ... + 2⁹⁶)

Suy ra H31

Vì H5, H31 và (5;31) = 1 nên H 5.31 hay H 155