Phương trình:\(3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{x+1}>0\) và đặt ẩn phụ \(t=\frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}\).

- Từ điều kiện \(x\ge 1\) ta tìm được điều kiện của \(t\) là \(0\le t<1\).

- Từ phương trình ẩn \(t\), rút \(-m=f\left( t \right)\) và xét hàm \(f\left( t \right)\) trên \(\left[ 0;1 \right)\), từ đó suy ra điều kiện của \(m\).

Giải chi tiết:

Phương trình: \(3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{{{x}^{2}}-1}\)(Điều kiện: \(x\ge 1\))

\(\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x-1}.\sqrt[4]{x+1}(*)\)

Ta  có với \(x\ge 1\Rightarrow \sqrt{x+1}>0.\) Chia hai vế phương trình (*) cho \(\sqrt{x+1}\) ta có: \(\frac{3\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+m=\frac{2\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}(1)\)

Đặt \(t=\frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}\Rightarrow {{t}^{4}}=\frac{x-1}{x+1}\).

Với \(x\ge 1\) thì hàm số \(0\le \frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}<1\Rightarrow 0\le {{t}^{4}}<1\Leftrightarrow 0\le t<1\)

Phương trình (1) trở thành: \(3{{t}^{2}}-2t+m=0(2)\)

Phương trình (*) có nghiệm \(\Leftrightarrow \) phương trình (2) có nghiệm: \(0\le t<1\)

Xét hàm \(y=f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-2t\) trên \(\left[ 0;1 \right)\) ta có:

\(f'\left( t \right)=6t-2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}\in \left[ 0;1 \right)\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình \(3{{t}^{2}}-2t+m=0\) có nghiệm trong \(\left[ 0;1 \right)\) thì đường thẳng \(y=-m\) phải cắt đồ thị hàm số \(y=f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-2t\) tại ít nhất 1 điểm.

Do đó \(-\frac{1}{3}\le -m<1\Leftrightarrow -1<m\le \frac{1}{3}\)

Vậy \(-1<m\le \frac{1}{3}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án B.