Cho phương trình \({{4}^{x}}-m{{.2}^{x+1}}+m+2=0\,...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai ẩn \(t>0\) và biện luận theo \(t\).

Giải chi tiết:

Ta có \({{4}^{x}}-m{{.2}^{x+1}}+m+2=0\,\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-m{{.2.2}^{x}}+m+2=0\)

Đặt \({{2}^{x}}=t>0\) ta được phương trình \({{t}^{2}}-2mt+m+2=0\)(*)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt lớn hơn 1 là \({{t}_{1}}>1;{{t}_{2}}>1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - m - 2 > 0\\{t_1} + {t_2} > 2\\\left( {{t_1} - 1} \right).\left( {{t_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 2\end{array} \right.\\2m > 2\\{t_1}.{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 2\end{array} \right.\\m > 1\\m + 2 - 2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < 3\)

Vậy \(S=\left( 2;3 \right)\Rightarrow a=2;b=3\Rightarrow b-a=1\).

Chọn A.