Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình c...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào dữ kiện góc và mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng để xác định chiều cao khối chóp.

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(MC\)\(\Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABCD \right).\)

Ta có \(\widehat{SM;\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SM;MH \right)}=\widehat{SMH}={{60}^{0}}.\)

Tam giác \(BMC\) vuông tại \(B,\) có \(MC=\sqrt{B{{M}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Tam giác \(SMC\) vuông tại \(S,\) có

\(\cos \widehat{SMC}=\frac{SM}{MC}\Rightarrow SM=\cos {{60}^{0}}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)

Suy ra \(SH=\frac{SM.SC}{MC}=\left( \frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2} \right):a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{4}.2{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.\)

Chọn D