Biết đồ thị \(y={{x}^{4}}-\left( m-1 \right){{x}^{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét \(a=1>0\Rightarrow \) Để đồ thị hàm số có đúng ba nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \) đồ thị hàm số có 3 cực trị và \({{y}_{CD}}=0\).

Giải chi tiết:

Xét \(y'=4{{x}^{3}}-2x\left( m-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}-\left( m-1 \right) \right)=0\)

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì trước hết phương trình y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\pm \sqrt{\frac{m-1}{2}} \\ \end{align} \right.\)

Dựa vào hình dáng của đồ thị hàm đa thức bậc 4 trùng phương khi \(a>0\) có đồ thị hàm số quay lên trên nên ta dễ dàng nhận ra được \({{y}_{CD}}=y\left( 0 \right)={{m}^{2}}-m-1\)

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\  & m=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right.\)

Kết hợp điều kiện  \(m>1\Rightarrow m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\in \left( 1;2 \right)\)

Chọn D.