Có bao nhiêu giá trị nguyên ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t={{3}^{1+x}}-{{3}^{1-x}}=f\left( x \right)\,\,\,\forall x\in \left[ 0;1 \right]\), tìm khoảng giá trị của t.

+) Đưa phương tình ban đầu về phương trình bậc 2 ẩn t, tìm điều kiện đề phương trình bậc 2 ẩn t có nghiệm trên khoảng vừa xác định.

Giải chi tiết:

Đặt \(t={{3}^{1+x}}-{{3}^{1-x}}=f\left( x \right)\,\,\,\forall x\in \left[ 0;1 \right]\) ta có \(f'\left( x \right)={{3}^{1+x}}\ln 3+{{3}^{1-x}}\ln 3>0\Rightarrow \)hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;1 \right]\), \(\Rightarrow f\left( 0 \right)=0\le f\left( x \right)\le f\left( 1 \right)=8\Rightarrow f\left( x \right)\in \left[ 0;8 \right]\)  hay \(t\in \left[ 0;8 \right]\) 

Ta có \({{t}^{2}}={{9}^{1+x}}+{{9}^{1-x}}-{{2.3}^{1+x+1-x}}={{9}^{1+x}}+{{9}^{1-x}}-18\Leftrightarrow {{9}^{1+x}}+{{9}^{1-x}}={{t}^{2}}+18\)

Khi đó phương trình trở thành \({{t}^{2}}+18=3\left( m+2 \right)t+45-27m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} - 3\left( {m + 2} \right)t + 27m - 27 = 0\,\,\forall t \in \left[ {0;8} \right]\\ \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 27 - 3m\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 9} \right)\left( {t + 3} \right) - 3m\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 9} \right)\left( {t + 3 - 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 9 \notin \left[ {0;8} \right]\\t = 3m - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Đề phương trình ban đầu có nghiệm \(x\in \left[ 0;1 \right]\) thì phương trình (*) có nghiệm \(t\in \left[ 0;8 \right]\) thì

\(0\le 3m-3\le 8\Leftrightarrow 1\le m\le \frac{11}{3}\overset{m\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,m\in \left\{ 1;2;3 \right\}\)

Vậy có 3 giá trị m nguyên để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc [0; 1]

Chọn A.