Tập tất cả các giá trị của tham số m để p...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t={{4}^{x}}\)

Giải chi tiết:

Đặt \(t={{4}^{x}}\,\,\,\left( t>0 \right)\), khi đó phương trình trở thành: \({{t}^{2}}-2\left( m-3 \right)t+3m+1=0\,\Leftrightarrow {{t}^{2}}+6t+1=m\left( 2t-3 \right)\)

Với \(t=\frac{3}{2}\Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Với \(t\ne \frac{3}{2}\,\,\left( t>0 \right)\), phương trình trở thành \(m=\frac{{{t}^{2}}+6t+1}{2t-3}=f\left( t \right)\,\,\,\left( t>0;t\ne \frac{3}{2} \right)\) .

Để phương trình ban đầu có nghiệm \(\Rightarrow \underset{x\in \left( 0;+\infty  \right)\backslash \left\{ \frac{3}{2} \right\}}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\le m\le \underset{x\in \left( 0;+\infty  \right)\backslash \left\{ \frac{3}{2} \right\}}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+6t+1}{2t-3}\) ta có :

\(f'\left( t \right)=\frac{\left( 2t+6 \right)\left( 2t-3 \right)-2\left( {{t}^{2}}+6t+1 \right)}{{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}=\frac{2{{t}^{2}}-6t-20}{{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}t=5\in \left( 0;+\infty  \right)\backslash \left\{ \frac{3}{2} \right\} \\t=-2\notin \left( 0;+\infty  \right)\backslash \left\{ \frac{3}{2} \right\} \\\end{align} \right.\)

Lập BBT ta được :

Để phương trình có nghiệm dương thì \(\left[ \begin{align}m<-\frac{1}{3} \\m\ge 8 \\\end{align} \right.\)

Chọn A.