Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right).\cos \pi x\,\text{d}x}\).

+) Sử dụng kết quả \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)+k.\sin \pi x \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}=0\) tính \(f\left( x \right)\)

+) Lấy tích phân từ 0 đến 1 cả 2 vế tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}\).

Giải chi tiết:

Đặt\(\left\{ \begin{array}{l}
u = \cos \pi x\\
dv = f'\left( x \right)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = - \pi \sin \pi xdx\\
v = f\left( x \right)
\end{array} \right.\)

Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right).\cos \pi x\,\text{d}x}=\left. f\left( x \right).\cos \pi x \right|_{0}^{1}+\pi \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).\sin \pi x\,\text{d}x}\)

\(=-\,\left[ f\left( 1 \right)+f\left( 0 \right) \right]+\pi \,\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).\sin \pi x\,\text{d}x}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).\sin \pi x\,\text{d}x}=\frac{1}{2}.\)

Xét \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)+k.\sin \pi x \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}+2k.\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).\sin \pi x\,\text{d}x}+{{k}^{2}}.\int\limits_{0}^{1}{{{\sin }^{2}}\left( \pi x \right)\,\text{d}x}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{k}^{2}}+2k.\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{\left( k+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow k=-\,1.\) Suy ra \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)-\sin \pi x \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}=0.\)

Vậy \(f\left( x \right)=\sin \pi x\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\sin \pi x\,\text{d}x}=\left. -\frac{\cos \pi x}{x} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{\pi }+\frac{1}{\pi }=\frac{2}{\pi }.\)

Chọn B.