Cho phương trình:\(\left( m-1 \right)\log _{\frac{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với \({{\log }_{2}}\left( x-2 \right)\) và đặt ẩn phụ \(t={{\log }_{2}}\left( x-2 \right)\) với \(t\in \left[ -1;1 \right]\).

- Rút \(m\) theo \(t\) và xét hàm \(f\left( t \right)\) để tìm ra điều kiện của \(m\).

Giải chi tiết:

\(\left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0\left( x>2 \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+m-1=0\)

Đặt \(y={{\log }_{2}}\left( x-2 \right)\Rightarrow x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right].\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(\left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( m-5 \right)t+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)={{t}^{2}}+5t+1\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}=1+\frac{4t}{{{t}^{2}}+t+1}\) vì \({{t}^{2}}+t+1>0\forall t\in \left[ -1;1 \right].\)

Xét hàm số: \(y=1+\frac{4t}{{{t}^{2}}+t+1}\) trên \(\left[ -1;1 \right].\)

Có: \(y'\left( t \right)=\frac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}\)

\(y'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow t=\pm 1\in \left[ -1;1 \right].\)

Ta có bảng biến thiên:

\(\Rightarrow m\in \left[ -3;\frac{7}{3} \right]\Rightarrow a+b=-\frac{2}{3}.\)

Đáp án B.