Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat C = {90^0}\), \(A...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Áp dụng tính chất tam giác cân.

- Áp dụng quan hệ đường vuông góc và đường xiên.

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(BM = BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta BMC\) tại B (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

  \( \Rightarrow \widehat {MCB} = \widehat {CMB}\left( 1 \right)\) (tính chất tam giác cân)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BCM} + \widehat {MCA} = \widehat {ACB} = {90^0}\left( {gt} \right)\\\widehat {CMH} + \widehat {MCH} = {90^0}\left( {gt} \right)\end{array} \right.\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {MCH} = \widehat {MCN}\)

Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta MNC\) có:

MC chung

\(\widehat {MCH} = \widehat {MCN}\left( {cmt} \right)\)

\(NC = HC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta MHC = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {MNC} = \widehat {MHC} = {90^0}\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow MN \bot AC\)

b) Xét \(\Delta AMN\)  có AN là đường vuông góc hạ từ A xuống MN và AM là đường xiên nên suy ra \(AM > AN\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BM = BC\left( {gt} \right)\\HC = CN\left( {gt} \right)\\AM > AN\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BM + MA + HC > BC + CN + NA \Leftrightarrow AB + HC > BC + AC\) .

c) Xét \(\Delta BHC\) có CH là đường vuông góc kẻ từ C xuống BH và BC là hình chiếu nên suy ra \(HC < BC\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Mà \(NC = HC\left( {gt} \right) \Rightarrow CN < BC\left( 3 \right)\) .

Vì \(AC < BC\left( {gt} \right)\) mà HA và HB lần lượt là hình chiếu của AC và BC trên AB

\( \Rightarrow HA < HB\)(quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

 Mà \(HM < HA \Rightarrow HM < HB\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right) \Rightarrow CN + HM < BC + HB.\)