Cho tam giác ABC nhọn AB < AC nội tiếp (O)  H l...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác AHCK có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh \(IG//PD//Ax\) (với Ax là tiếp tuyến của (O) tại A.

Giải chi tiết:

a)      Gọi BD, CP lần lượt là đường cao của tam giác ABC.

AC là trung trực của FK nên AC là trục đối xứng của FK.

Ta có ngay: \(\widehat {AKC} = \widehat {AFC} = \widehat {ABC}\)

Gọi E là giao điểm của AL và BC ta có tứ giác BEHP là tứ giác nội tiếp

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {PHE} = {180^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {180^0} - \widehat {PHE} = {180^0} - \widehat {AHC}\\ \Rightarrow \widehat {AKC} = {180^0} - \widehat {AHC} \Rightarrow \widehat {AKC} + \widehat {AHC} = {180^0}\end{array}\)

Do đó AHCK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b)      Do AHCK là tứ giác nội tiếp nên: \(\widehat {IAK} = \widehat {CAK} = \widehat {CHK} = \widehat {GHI}\)

Mà \(\widehat {IAK} = \widehat {IAG}\) (tính đối xứng) nên \(\widehat {IAG} = \widehat {IHG}\)

Do đó tứ giác IAHG là tứ giác nội tiếp, suy ra: \(\widehat {IGC} = \widehat {HAD}\) (cùng bù với \(\widehat {IGH}\))

Mặt khác: \(\widehat {HDA} = \widehat {HPA} = {90^0}\) (gt) nên tứ giác HPDA là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {HAD} = \widehat {HPD} \Rightarrow \widehat {IGC} = \widehat {CPD}\)

Mà hai góc này ở vị trí hai góc đồng vị \( \Rightarrow IG//PD.\)

Kẻ tiếp tuyến Ax của (O) \( \Rightarrow \widehat {BAx} = \widehat {ACB}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Lại có \(\widehat {BDC} = \widehat {BPC} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \) tứ giác BPDC là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {APD} \Rightarrow \widehat {PAx} = \widehat {ADP}\). Mà hai góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow Ax//PD\).

\(\left\{ \begin{array}{l}Ax \bot OA \Rightarrow PD \bot OA\\PD//IG \Rightarrow IG \bot OA\end{array} \right.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.