a)      Giải phương trình: \(x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa.

+) Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

b) Cố gắng nhẩm để ra bộ nghiệm thỏa mãn. Ta thấy vì dấu trước y ở cả 2 PT đều cùng dấu nên dễ đánh giá. (Ở PT (1)(1) cùng dương).

Từ đó chọn giá trị y trong nghiệm làm mốc để đánh giá. 

Giải chi tiết:

a)                  Điều kiện : 

\(\left\{ \begin{array}{l}7 - x \ge 0\\ - {x^2} + 8x - 7 \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\1 \le x \le 7\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 7.\)

\(\begin{align}  x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-{{x}^{2}}+8x-7}+1 \\  \Rightarrow x-1+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{(x-1)(7-x)}. \\ \end{align}\)

Đặt : \(\left\{ \begin{align}  a=\sqrt{7-x}\ge 0 \\  b=\sqrt{x-1}\ge 0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{b}^{2}}=x-1.\)

Thay vào biểu thức trên ta được :

\(\begin{array}{l}{b^2} + 2a = 2b + ab\\ \Leftrightarrow {b^2} - 2b + 2a - ab = 0\\ \Leftrightarrow b\left( {b - 2} \right) + a\left( {2 - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow (a - b)(2 - b) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}7 - x = x - 1\\x - 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\left( {tm} \right)\\x = 5\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : \(x=4,\ x=5.\)

b) Điều kiện : \(x\ge 1\).

Ta có: \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4\sqrt{x+1}=xy\sqrt{{{x}^{2}}+4}\Rightarrow y>0.\)

Xét \(y\ge \sqrt{2}\) ta có :

Từ pt (1) ta có : \(4\sqrt{x+1}=xy\sqrt{{{y}^{2}}+4}\ \ge 2x\sqrt{3}\)

\(\begin{align}  \Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}\ge x\sqrt{3}\Leftrightarrow 4\left( x+1 \right)\ge 3{{x}^{2}} \\  \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4x-4\le 0 \\  \Leftrightarrow \left( 3x+2 \right)\left( x-2 \right)\le 0 \\  \Leftrightarrow x\le 2\left( x\ge 1 \right). \\ \end{align}\)

Từ pt (2) ta có :

\(\begin{align}  3\sqrt{x-1}=x{{y}^{2}}-\sqrt{{{x}^{2}}+1-x{{y}^{2}}}\ge 2x-\sqrt{{{(x-1)}^{2}}} \\  \Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}\ge x+1 \\  \Leftrightarrow 9\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}+2x+1 \\  \Leftrightarrow {{x}^{2}}-7x+8\le 0 \\  \Leftrightarrow 2\le x\le 5 \\  \Rightarrow x=2\Rightarrow y=\sqrt{2}. \\ \end{align}\)

Trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho duy nhất là : \(\left( x;\ y \right)=\left( 2;\,\sqrt{2} \right).\)