Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\sqrt{x+2}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ của tổng hai căn, biến đổi ra tích, đưa về giải bất phương trình cơ bản

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\ge 2.\) Đặt \(t=\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}=2x+2\sqrt{{{x}^{2}}-4}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}=4x+4\sqrt{{{x}^{2}}-4}.\)

Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với: \(t\ge 2{{t}^{2}}-15\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-15\le 0\Leftrightarrow -\,\frac{5}{2}\le t\le 3.\)

Kết hợp điều kiện \(t\ge 0,\) ta được 

\(0 \le t \le 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\\sqrt {x - 2}  + \sqrt {x + 2}  \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2x + 2\sqrt {{x^2} - 4}  \le 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2\sqrt {{x^2} - 4}  \le 9 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le \frac{9}{2}\\4\left( {{x^2} - 4} \right) \le {\left( {9 - 2x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le \frac{9}{2}\\4{x^2} - 16 \le 4{x^2} - 36x + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le \frac{{97}}{{36}}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left[ 2;\frac{97}{36} \right]\) chứa nghiệm nguyên duy nhất \(x=2.\)

Chọn A