Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {90^0}\), tia p...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để suy ra DA = DE, và lập luận để chỉ ra \(\widehat {EDC} = \widehat {ABC}\)

b)  Để chứng minh \(AE \bot BD\), ta sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để  chứng minh\(\Delta AIB = \Delta EIB\), và sử dụng tính chất hai góc kề bùvđể suy ra \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = {90^ \circ }\)

Giải chi tiết:

a) Xét hai tam giác BDA và BDE có:BA = BE(gt), \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (do BD là tia phân giác của góc B);

BD là cạnh chung. Suy ra \(\Delta BDA = \Delta BDE\) (c.g.c)

Do đó  DA = DE (hai cạnh tương ứng); \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = {90^ \circ }\) (hai góc tương ứng)

Trong các tam giác ABC và EDC vuông ở A và E, ta có:

\(\widehat {ABC} + \widehat C = {90^ \circ }\) và \(\widehat {EDC} + \widehat C = {90^ \circ }\), suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {ABC}\). (đpcm)

b) Gọi I là giao điểm của AE và BD.

Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta EIB\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AB = BE\,\,\,\left( {gt} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\,\,\,\left( {gt} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BI\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta AIB = \Delta EIB\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

Do đó \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE}\) (hai cạnh tương ứng)  mà \(\widehat {BIA} + \widehat {BIE} = {180^0}\) (hai góc kề bù).

Suy ra \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = {90^0}\). Vậy \(AE \bot BD\)(đpcm).