Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình các mặt phẳng ở đề bài.

+) Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) là điểm cách đều cả 4 mặt phẳng trên

\(\Leftrightarrow d\left( M;\left( ABC \right) \right)=d\left( M;\left( BCD \right) \right)=d\left( M;\left( CDA \right) \right)=d\left( M;\left( DAB \right) \right)\).

+) Tính các khoảng cách và giải hệ phương trình.

Giải chi tiết:

Phương trình các mặt phẳng : \(\begin{align}  & \left( ABC \right):\,\,x+y+z-1=0 \\  & \left( BCD \right):\,\,x=0 \\  & \left( CDA \right):\,\,y=0 \\  & \left( DAB \right):\,\,z=0 \\ \end{align}\)

Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) là điểm cách đều cả 4 mặt phẳng trên

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {BCD} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {CDA} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {DAB} \right)} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b + c - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\\
\frac{{\left| {a + b + c - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| a \right|
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b = c\\
a = b = - c\\
a = c = - b\\
b = c = - a
\end{array} \right.\)

TH1: 

\(a = b = c \Rightarrow \frac{{\left| {3a - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| a \right| \Leftrightarrow 9{a^2} - 6a + 1 = 3{a^2} \Rightarrow a = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{6} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
M\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{6};\frac{{3 + \sqrt 3 }}{6};\frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}} \right)\\
M\left( {\frac{{3 - \sqrt 3 }}{6};\frac{{3 - \sqrt 3 }}{6};\frac{{3 - \sqrt 3 }}{6}} \right)
\end{array} \right.\)

TH2: 

\(a = b = - c \Rightarrow \frac{{\left| {a - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| a \right| \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 = 3{a^2} \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
M\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right)\\
M\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)
\end{array} \right.\)

TH3: 

\(a = c = - b \Rightarrow \frac{{\left| {a - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| a \right| \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 = 3{a^2} \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
M\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)\\
M\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}} \right)
\end{array} \right.\)

TH4: 

\(b = c = - a \Rightarrow \frac{{\left| { - a - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| a \right| \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 = 3{a^2} \Leftrightarrow a = \frac{{1 \pm \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
M\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}} \right)\\
M\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)
\end{array} \right.\)

Vậy có tất cả 8 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.