Cho biết \(F\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Ta có: \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right)\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)\Rightarrow \) tìm giá trị của \(a\Rightarrow g\left( x \right).\)

+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của \(g\left( x \right).\) 

Giải chi tiết:

Ta có: \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right)\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right).\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + 2x - \frac{1}{x}} \right)'} = \frac{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4} + 2a{x^2} + {a^2}}}{{{x^2}}}\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = {x^2} + 2a + \frac{{{a^2}}}{{{x^2}}}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a = 2\\
\frac{{{a^2}}}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
a = \pm 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1.\\
\Rightarrow g\left( x \right) = x\cos x.\\
\Rightarrow I = \int {g\left( x \right)dx = \int {x\cos xdx.} }
\end{array}\)

 Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {\mathop{\rm sinx}\nolimits}
\end{array} \right..\)

\(\Rightarrow I=x\operatorname{sinx}-\int{\sin xdx=x\sin x+\cos x+C.}\)

Chọn C.