Cho phương trình \(\left( 1+\cos x \right)\left( \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \({{\sin }^{2}}x=1-{{\cos }^{2}}x=\left( 1-\cos x \right)\left( 1+\cos x \right)\)

+) Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng \(\cos x=m\).

+) Biểu diễn nghiệm trên đường trìn lượng giác và kết luận.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x - m + m\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - 1\left( 1 \right)\\\cos 4x = m\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right);\pi  + k2\pi  \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right] \Rightarrow k \in \emptyset \end{array}\)

\(\Rightarrow \) Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm thuộc \(\left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right]\Rightarrow \)Phương trình (2) có 3 nghiệm thuộc \(\left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right].\)

Với \(x\in \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right]\Rightarrow 4x\in \left[ 0;\frac{8\pi }{3} \right]\), biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta có:

Dễ thấy để phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ 0;\frac{8\pi }{3} \right]\Rightarrow m\in \left[ -\frac{1}{2};1 \right)\).

Chọn D.