Cho các số phức \(w,\,\,z\) thỏa mãn \(\left| w+i...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi tọa độ, biểu diễn các số phức trong hình học phẳng, đưa về biện luận khoảng cách giữa các điểm

Giải chi tiết:

Ta có \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\Leftrightarrow 5w+5i=\left( 2+i \right)z-8+i\Leftrightarrow 5\left| w+i \right|=\left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|\)

\(\Leftrightarrow \left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 2+i \right|.\left| z-\frac{8-i}{2+i} \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| z-\frac{8-i}{2+i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3\)

\(\Rightarrow \)Tập hợp điểm \(M\left( z \right)\) là đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9,\) tâm \(I\left( 3;-\,2 \right),\,\,R=3.\)

Gọi \(A\left( 1;2 \right),\,\,B\left( 5;2 \right)\) và \(E\left( 3;2 \right)\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(P=MA+MB\).

Lại có \({{\left( MA+MB \right)}^{2}}\le 2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)=4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}\)\(\Rightarrow \,\,P\) lớn nhất \(\Leftrightarrow \)\(ME\) lớn nhất.

Mà \(IE=4>R=3\)\(\xrightarrow{{}}\,\,M{{E}_{\max }}=IE+R=7.\) Vậy \({{P}_{\max }}=\sqrt{4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{53}.\)

Chọn C