Tìm các nghiệm trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

ĐK:  \(\sin 2x \ne - {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{2x \ne - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr 2x \ne {{7\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x \ne - {\pi \over {12}} + k\pi \hfill \cr x \ne {{7\pi \,} \over {12}} + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Ta có: 

\(\eqalign{ & \sin 3x + \cos 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x + 4{\cos ^3}x - 3\cos x \cr & = - 3\left( {\cos x - \sin x} \right) + 4\left( {{{\cos }^3}x - {{\sin }^3}x} \right) \cr & = - 3\left( {\cos x - \sin x} \right) + 4\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + \cos x\sin x + {{\sin }^2}x} \right) \cr & = - 3\left( {\cos x - \sin x} \right) + 4\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + {1 \over 2}\sin 2x} \right) \cr & = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {4 + 2\sin 2x - 3} \right) \cr & = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + 2\sin 2x} \right) \cr} \)

Khi đó ta có: 

\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,5\left( {\sin x + {{\cos 3x + \sin 3x} \over {1 + 2\sin 2x}}} \right) = 3 + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 5\left( {\sin x + {{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + 2\sin 2x} \right)} \over {1 + 2\sin 2x}}} \right) = 3 + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 5\left( {\sin x + \cos x - \sin x} \right) = 3 + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 5\cos x = 3 + 2{\cos ^2}x - 1 \cr & \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 5\cos x + 2 = 0 \cr} \)

Đặt \(\cos x = t\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\) khi đó phương trình có dạng  \(2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{t = 2\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr t = {1 \over 2}\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(t = {1 \over 2} \Rightarrow \cos x = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 3} + k2\pi \, \hfill \cr x = - {\pi \over 3} + l2\pi \, \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k,l \in Z} \right)\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vì \(x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow \left[ \matrix{0 < {\pi \over 3} + k2\pi < 2\pi \hfill \cr 0 < - {\pi \over 3} + l2\pi < 2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{0 < {1 \over 3} + 2k < 2 \hfill \cr 0 < - {1 \over 3} + 2l < 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{- {1 \over 6} < k < {5 \over 6} \hfill \cr {1 \over 6} < l < {7 \over 6} \hfill \cr} \right.\)

Vì \(k,l \in Z\) nên  \( \Rightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 3} \hfill \cr x = {{ - \pi } \over 3} + 2\pi = {{5\pi } \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Chọn C.