Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi p...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết:

Diện tích hình (H) : \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} = 2\left( {{S_1} + {S_2}} \right)\)

Giải phương trình hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,\left( {x > 0} \right)\,\, \Leftrightarrow 3{x^4} = 4 - {x^2} \Leftrightarrow 3{x^4} + {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} =  - \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

+) \({S_1} = \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{2}\sqrt {4 - {x^2}} } dx\)

Đặt \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{6}\\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{2}\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} .2\cos t} dt = 2\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos t} \right|.\cos t} dt\\\,\,\,\,\, = 2\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}t} dt = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)} dt = \left. {\left( {t + \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{2}.0} \right) - \left( {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)

+) \({S_2} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}} dx = \left. {\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}{x^3}} \right|_0^1 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\)

 \( \Rightarrow S = 2\left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 2\left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}} \right) = 2\left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}} \right) = \dfrac{{4\pi  - \sqrt 3 }}{6}\)\( = \dfrac{{a\pi  + b\sqrt 3 }}{c}\)

\( \Rightarrow a = 4;\,\,\,b =  - 1;\,\,c = 6 \Rightarrow P = a + b + c = 9\).

Chọn: A