Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định chiều cao của lăng trụ dựa vào dữ kiện ${A}'A={A}'B={A}'C=a$

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh $a$ là $S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$

+) Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ $V=h.S$ với $h,S$lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của lăng trụ

Giải chi tiết:

Gọi $H$là trọng tâm tam giác $ABC$. Vì ${A}'A={A}'B={A}'C=a$ nên ${A}'H\bot \left( ABC \right)$.

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$.

Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên đường trung tuyến $CM=\frac{a.\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $CH=\frac{2}{3}CM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xét tam giác ${A}'HC$ vuông tại $H$ ta có ${A}'H=\sqrt{{A}'{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$

Diện tích tam giác đều $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.

Ta có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{ABC}}=\frac{a\sqrt{6}.{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3.4}=\frac{{{a}^{3}\sqrt{2}}}{4}$.

Chọn B.