Cho phương trình \({{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, cô lập m đưa về khảo sát hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết:

Phương trình \({{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{x}}+2m{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{x}}={{2}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}+2m.{{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}=1\)           \(\left( * \right).\)

Đặt \(t={{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}>0\) mà \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}.\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1\)\(\Rightarrow \)\({{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}.\)

Khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{1}{t}+2mt=1\Leftrightarrow 2m=\frac{t-1}{{{t}^{2}}}.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{t-1}{{{t}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( 0;+\,\infty  \right),\) có \({f}'\left( t \right)=\frac{2-t}{{{t}^{3}}};\,\,{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2.\)

Ta có bảng biến thiên :

Tính \(f\left( 2 \right)=\frac{1}{4};\,\,\underset{t\,\to \,{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=-\,\infty \) và \(\underset{t\,\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=0\)

Do đó, để phương trình \(2m=f\left( t \right)\) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \,\,m\le 0;\,\,m=\frac{1}{8}.\)

Chọn B