Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương, dựa vào điều kiện tam giác đều để tìm giá trị của tham số \(m\)

Giải chi tiết:

Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}-4mx;\,\,\forall x\in \mathbb{R}\) nên phương trình \({y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0 \\  {{x}^{2}}=m \\ \end{align} \right..\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi \(m>0.\)

Khi đó, gọi \(A\left( 0;2m+{{m}^{4}} \right),\,\,B\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-{{m}^{2}}+2m \right)\) và \(C\left( -\,\sqrt{m};{{m}^{4}}-{{m}^{2}}+2m \right)\) là ba điểm cực trị.

Lại có \(\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m};-\,{{m}^{2}} \right),\,\,\overrightarrow{BC}=\left( -\,2\sqrt{m};0 \right)\) suy ra \(AB=\sqrt{{{m}^{4}}+m}\) và \(BC=2\sqrt{m}.\)

Để tam giác \(ABC\) đều khi và chỉ khi \(AB=BC\)\(\Leftrightarrow {{m}^{4}}+m=4m\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{3}.\)

Chọn A