Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \({{\log }_{\f...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \({{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y={{\log }_{a}}\left( xy \right)\)và \({\log _a}x \le {\log _a}y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\x \ge y\end{array} \right.,\) rút y theo x, đưa biểu thức P chỉ còn biến x.

+) Đưa biểu thức P về dạng \(P\ge f\left( x \right),\) tìm GTNN của biểu thức f(x).

Giải chi tiết:

\({{\log }_{\frac{1}{3}}}x+{{\log }_{\frac{1}{3}}}y\le {{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( xy \right)\le {{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow xy\ge {{x}^{2}}+y\Leftrightarrow y\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}\)

Với x = 1 ta có \(0\ge 1\) (Vô lý) \(\Rightarrow x\ne 1\) .

Ta có \(y\left( x-1 \right)={{x}^{2}}\ge 0,\)  mà \(y>0\Rightarrow x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1.\)  Vậy \(x>1\)

Khi đó ta có :

\(P=3x+2y=\frac{\left( 3x+2y \right)\left( x-1 \right)}{x-1}=\frac{3x\left( x-1 \right)+2y\left( x-1 \right)}{x-1}\ge \frac{3{{x}^{2}}-3x+2{{x}^{2}}}{x-1}=\frac{5{{x}^{2}}-3x}{x-1}=f\left( x \right)\,\,\,\forall x>1\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{5{{x}^{2}}-3x}{x-1}=5x+2+\frac{2}{x-1}\,\,\,\left( x>1 \right)\)ta có

\(f'\left( x \right) = 5 - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{5{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \frac{{\sqrt {10} }}{5}\\x = 1 - \frac{{\sqrt {10} }}{5}\end{array} \right.\)

BBT :

Dựa vào BBT ta thấy

\(\begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {1 + \frac{{\sqrt {10} }}{5}} \right) = 5\left( {1 + \frac{{\sqrt {10} }}{5}} \right) + 2 + \frac{2}{{1 + \frac{{\sqrt {10} }}{5} - 1}} = 5 + \sqrt {10}  + 2 + \sqrt {10}  = 7 + 2\sqrt {10} \\ \Rightarrow P \ge f\left( x \right) \ge 7 + 2\sqrt {10}  \Rightarrow {P_{\min }} = 7 + 2\sqrt {10} \end{array}\)

Chọn B.