Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E sao c...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(\Delta ADE \sim \Delta BKE\) (g.g)

b) Chứng minh \(\Delta ADE \sim \Delta HCD\) (g.g) từ đó suy ra tỉ lệ các cạnh suy ra đpcm

c) Dựa vào tỉ số đồng dạng để tính BK, suy ra CK. Từ đó tính diện tích tam giác CDK vuông tại C

d) \({S_{\Delta CDK}} = \frac{1}{2}.CD.CK = \frac{1}{2}CH.KD \Rightarrow CH.KD = CD.CK,\;\;CK = BC + BK\) thế vào để suy ra đpcm.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác BKE

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BKE\) có:

\(\angle AED = \angle BEK\) (đối đỉnh)

\(\angle DAE = \angle KBE\) (\( = {90^o}\) do ABCD là hình vuông)

\( \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta BKE\;\left( {g - g} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\)

b) Gọi H là hình chiếu của C trên DE. Chứng minh \(AD.HD = HC.AE\)

Ta có:  ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AB//CD\)

\( \Rightarrow \angle AED = \angle HDC\) (so le trong)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta HCD\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AED = \angle HDC\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle DAE = \angle CHD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta HCD\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{HC}} = \frac{{AE}}{{HD}} \Rightarrow AD.HD = HC.AE\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Tính diện tích tam giác CDK khi độ dài \(AB = 6cm\)

Ta có: \(\Delta ADE \sim \Delta BKE\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{AD}}{{BK}}\)  hay \(\frac{{AD}}{{BK}} = 2 \Rightarrow BK = \frac{1}{2}AD\)

Do ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AD = AB = BC = CD = 6cm\)

\( \Rightarrow BK = \frac{1}{2}AD = 3cm \Rightarrow CK = BC + BK = 6 + 3 = 9\,\,(cm)\)

Ta có \(\Delta CDK\) vuông tại C (ABCD là hình vuông)

\( \Rightarrow {S_{\Delta CDK}} = \frac{1}{2}.CD.CK = \frac{1}{2}.6.9 = 27\,\,(c{m^2})\)

d) Chứng minh \(CH.KD = C{D^2} + CB.KB\)

Ta có: \({S_{\Delta CDK}} = \frac{1}{2}.CD.CK = \frac{1}{2}CH.KD \Rightarrow CH.KD = CD.CK\)

Mà  \(CK = BC + BK \Rightarrow CH.KD = CD\left( {BC + BK} \right)\)

\( \Leftrightarrow CH.KD = CD.BC + CD.KB\)

Lại có \(CD = CB\) (ABCD là hình vuông) \( \Rightarrow CH.KD = C{D^2} + CB.KB\) (đpcm)