Giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \dfrac{{\sin...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa biểu thức về dạng phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) sau đó tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Từ đó ta tìm được GTLN của biểu thức P.

Giải chi tiết:

Ta có: \(2\sin x + \cos x - 4 \ne 0\;\;\forall x.\)

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\sin x - 2\cos x - 3}}{{2\sin x + \cos x - 4}} \Leftrightarrow \sin x - 2\cos x - 3 = P\left( {2\sin x + \cos x - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2P - 1} \right)\sin x + \left( {P + 2} \right)\cos x = 4P - 3\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

\(P\) xác định \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {2P - 1} \right)^2} + {\left( {P + 2} \right)^2} \ge {\left( {4P - 3} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{P^2} + 5 \ge 16{P^2} - 24P + 9 \Leftrightarrow 11{P^2} - 24P + 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{11}} \le P \le 2 \Rightarrow \max P = 2.\end{array}\)

Chọn A.