Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(a + b + c = 7,{...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp thế.

+) Áp dụng bất đẳng thức với hai số thực bất kì \(x,\,y:\,\,{\left( {x + y} \right)^2} - 4xy = {\left( {x - y} \right)^2}.\)

+) Giải bất phương trình tích.

Giải chi tiết:

Theo đề bài ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 7\\ab + bc + ca = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 7 - a\\a\left( {b + c} \right) + bc = 15\,\,\,\left( I \right)\end{array} \right.\,\,\)

Với mọi số thực \(b,\,\,c\) ta luôn có : \({\left( {b + c} \right)^2} - 4bc = {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow {\left( {b + c} \right)^2} \ge 4bc\,\,\,\,\left( {II} \right)\)

Thế (II) vào (I) ta được :

\(\begin{array}{l}60 = 4a\left( {b + c} \right) + 4bc \le 4a\left( {7 - a} \right) + {\left( {7 - a} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 28a - 4{a^2} + 49 - 14a + {a^2} \ge 60\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - 14a + 11 \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le a \le \frac{{11}}{3}.\end{array}\)

Vậy \(a \le \frac{{11}}{3}.\)