Cho \((P)\) là đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị các hàm số trên cùng hệ trục.

b) Tìm tọa độ các điểm A và B.

+) Tam giác OAB vuông tại B  khi \(O{B^2} + A{B^2} = O{A^2}.\) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OB.AB.\)

Giải chi tiết:

Cho \((P)\) là đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2},\,\,\,(d)\) là đồ thị hàm số \(y = 2x\) và \((d')\) là đồ thị hàm số \(y =  - x\).

a) +) Vẽ đồ thị của hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\):

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) là đường cong nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng và đi qua các điểm \((0;\,\,0);\,\,\,\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right);\,\,\,\left( { - 1;\frac{{ - 1}}{2}} \right);\;\left( { - 2;\; - 2} \right);\;\left( {2;\;2} \right).\)

+) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x\)

Đồ thị hàm số \(y = 2x\)  là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \((0;\,\,0)\) và điểm \((1;\,\,2)\).

+) Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - x\)

Đồ thị hàm số \(y =  - x\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \((0;\,\,0)\) và điểm \((1;\,\, - 1)\).

b)  Hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\)  là nghiệm của phương trình:

            \(\begin{array}{l}\;\; - \frac{1}{2}{x^2} = 2x \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {\frac{1}{2}x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\frac{1}{2}x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x =  - 4\,\, \Rightarrow y =  - 8\)

Vậy giao điểm thứ hai của \((P)\) và \((d)\) là\(A\,( - 4;\,\, - 8)\)

+) Hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d')\)  là nghiệm của phương trình:

            \(\begin{array}{l}\;\; - \frac{1}{2}{x^2} =  - x \Leftrightarrow  - \frac{1}{2}{x^2} + x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( { - \frac{1}{2}x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\ - \frac{1}{2}x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x = 2\,\, \Rightarrow y =  - 2\)

Vậy giao điểm thứ hai của \((P)\) và \((d')\) là \(B\,(2;\,\, - 2)\).

+) Ta có: \(O{A^2} = {4^2} + {8^2} = 80\,\,\,;\,\,\,\,\,O{B^2} = {2^2} + {2^2} = 8\,\,\,;\,\,\,\,A{B^2} = {(4 + 2)^2} + {(8 - 2)^2} = 72\)

\( \Rightarrow O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}\)

\( \Rightarrow \) Tam giác \(OAB\) vuông tại \(B\)

Ta có \(OB = 2\sqrt 2 \,cm\,\,;\,\,\,AB = 6\sqrt 2 \,cm.\)

Diện tích tam giác \(OAB\) là  \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OB.AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .6\sqrt 2  = 12\,\,(c{m^2})\)