Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}\) . T...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các điểm cực trị của hàm số.

+) Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\)

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\)

Để hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m \ne 0\) 

\(\begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = 4{m^3} \Rightarrow A\left( {0;4{m^3}} \right)\\
x = 2m \Rightarrow y = 0 \Rightarrow B\left( {2m;0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}} = \sqrt {20} \\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 16{m^6} = 20 \Leftrightarrow 16{m^6} - 16{m^2} + 20{m^2} - 20 = 0\\
\Leftrightarrow 16{m^2}\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) + 20\left( {{m^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {16{m^4} + 16{m^2} + 20} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {m^2} = 1\;\;\;\left( {do\;\;16{m^4} + 16{m^2} + 20 > 0} \right)\\
\Leftrightarrow m = \pm 1.
\end{array}\)

Chọn A.