Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) có đồ t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Viết phương trình \(AB\) và xét phương trình hoành độ giao điểm của \(AB\) và \(\left( C \right)\)

- Tam giác \(IAB\) đều khi và chỉ khi \(d\left( {I,AB} \right) = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}\) và sử dụng vi-et thay và đẳng thức tìm \(AB\)

Giải chi tiết:

Tam giác \(IAB\) đều thì \(AB\) vuông góc với tia phân giác góc phần tử thứ \(II,IV\)

Phương trình \(AB:y = x + m\), phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(AB\) là :

\(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} = x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m + 1 = 0\left( {x \ne  - 2} \right)\)

Có \(\Delta  = {m^2} - 6m - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 3 \\m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Tam giác \(ABI\) đều tại \(I\) khi và chỉ khi \(IH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow d\left( {I,AB} \right) = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m = 9\\ \Leftrightarrow AB = \sqrt {2\left( {{m^2} - 6m - 3} \right)}  = 2\sqrt 3 \end{array}\)

Chọn B.