Cho hàm số \(y=\frac{1}{6}{{x}^{4}}-\frac{7}{3}{{x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right):\ y=f\left( x \right)\) tại \(A\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\) là:\(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(y'=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{14}{3}x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{14}{3}x=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-7x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\sqrt{7} \\  & x=0 \\  & x=\sqrt{7} \\ \end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) Hàm số có 3 điểm cực trị.

Gọi\(A\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)\in \left( C \right).\)

Khi đó tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x}_{1}};\ {{y}_{1}} \right),\ N\left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}} \right)\ \ \left( M,\ N\ne A \right)\) có hệ số góc là: \(k=\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=4.\)

Hàm số đã cho có \(a=\frac{1}{6}>0.\) Mà \(k=4>0\Rightarrow \) tiếp tuyến cắt  \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow -\sqrt{7}<{{x}_{0}}<0.\)

Mặt khác: \(k=f'\left( {{x}_{0}} \right)\Rightarrow 4=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{14}{3}x\Leftrightarrow x_{0}^{3}-7{{x}_{0}}-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{0}}=-2\ \ \left( tm \right) \\  & {{x}_{0}}=-1\ \ \ \left( tm \right) \\  & {{x}_{0}}=3\ \ \left( ktm \right) \\ \end{align} \right..\)

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn D.