Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh \(d\left( {{A_1}B;{B_1}C} \right) = d\left( {{A_1};\left( {{B_1}C{D_1}} \right)} \right)\).

+) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh chứng minh \(d\left( {{A_1};\left( {{B_1}C{D_1}} \right)} \right) = d\left( {{C_1};\left( {{B_1}C{D_1}} \right)} \right)\).

+) Dựng khoảng cách và tính khoảng cách.

Giải chi tiết:

Ta có \({A_1}B//C{D_1} \Rightarrow {A_1}B//\left( {{B_1}C{D_1}} \right) \supset {B_1}C\)

\( \Rightarrow d\left( {{A_1}B;{B_1}C} \right) = d\left( {{A_1}B;\left( {{B_1}C{D_1}} \right)} \right) = d\left( {{A_1};\left( {{B_1}C{D_1}} \right)} \right)\).

Gọi \(O = {A_1}{C_1} \cap {B_1}{D_1}\) ta có:

\(\dfrac{{d\left( {{A_1};\left( {{B_1}C{D_1}} \right)} \right)}}{{d\left( {{C_1};\left( {{B_1}C{D_1}} \right)} \right)}} = \dfrac{{{A_1}O}}{{{C_1}O}} = 1 \Rightarrow d\left( {{A_1};\left( {{B_1}C{D_1}} \right)} \right) = d\left( {{C_1};\left( {{B_1}C{D_1}} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) kẻ \({C_1}H \bot {B_1}{D_1}\,\,\left( {H \in {B_1}{C_1}} \right)\), trong \(\left( {C{C_1}H} \right)\) kẻ \({C_1}K \bot CH\,\,\left( {K \in CH} \right)\) ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{B_1}{D_1} \bot {C_1}H\\{B_1}{D_1} \bot C{C_1}\end{array} \right. \Rightarrow {B_1}{D_1} \bot \left( {C{C_1}H} \right) \Rightarrow {B_1}{D_1} \bot {C_1}K\\\left\{ \begin{array}{l}{C_1}K \bot {B_1}{D_1}\\{C_1}K \bot CH\end{array} \right. \Rightarrow {C_1}K \bot \left( {{B_1}C{D_1}} \right) \Rightarrow d\left( {{C_1};\left( {{B_1}C{D_1}} \right)} \right) = CK\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\dfrac{1}{{{C_1}{K^2}}} = \dfrac{1}{{{C_1}{H^2}}} + \dfrac{1}{{{C_1}{C^2}}} = \dfrac{1}{{{C_1}B_1^2}} + \dfrac{1}{{{C_1}D_1^2}} + \dfrac{1}{{{C_1}{C^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{a^2}}} = \dfrac{{49}}{{36{a^2}}}\).

\( \Rightarrow {C_1}K = \dfrac{{6a}}{7}\). Vậy \(d\left( {{A_1}B;{B_1}C} \right) = \dfrac{{6a}}{7}\). Chọn B.