Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

Đặt \(\left| {\cos x} \right| = t\;\;\left( {0 \le t \le 1} \right).\)

Khi đó ta có phương trình: \(\frac{1}{3}{t^3} - 3{t^2} + 5t - 3 + 2m = 0\;\;\left( * \right)\)

Phương trình bài cho có đúng 4 nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;2\pi } \right] \Leftrightarrow \) phương (*) có 1 nghiệm \(t \in \left( {0;\;1} \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 3{t^2} + 5t - 3\)

Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y =  - 2m.\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = {t^2} - 6t + 5 \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

\( \Rightarrow pt\;\left( * \right)\) có 1 nghiệm \( \Leftrightarrow  - 3 <  - 2m < \frac{{ - 2}}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < m < \frac{3}{2}.\)

Chọn C.