Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,f\left( x \right) = {y_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,f\left( x \right) = {y_0}\)

Ta sử dụng nhận xét: “Đối với hàm phân thức, số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của mẫu thức khác nghiệm của tử thức”  để tìm các tiệm cận đứng của đồ thị đã cho.

Giải chi tiết:

Ta có \(y = \dfrac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \,f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{x}{{{x^3}}} - \dfrac{3}{{{x^3}}}}}{{1 - 3m\dfrac{{{x^2}}}{{{x^3}}} + \left( {2{m^2} + 1} \right)\dfrac{x}{{{x^3}}} - \dfrac{m}{{{x^3}}}}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 3 đường tiệm cận đứng.

Hay phương trình \({x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = 0\,\,\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \(x \ne 3.\)

Ta có \({x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = 0 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} - 2mx + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} - 2mx + 1 = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khác 3 thì \(m \ne 3\) và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \(m\) và khác \(3.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 1 > 0\\{3^2} - 2.m.3 + 1 \ne 0\\{m^2} - 2{m^2} + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{5}{3}\\m \ne  - 1\\m \ne 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\ - 6 \le m \le 6\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2;2;4;5;6} \right\}\)

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn điều kiện

Chọn B.