Tổng số nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{4 + {{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = {\log _2}x\), đưa phương trình về phương trình ẩn t.

+) Quy đồng, bỏ mẫu, giải phương trình ẩn t, lưu ý ĐKXĐ, sau đó thay lại tìm nghiệm x.

+) Tính tổng các nghiệm x của phương trình ban đầu.

Giải chi tiết:

\(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x \ne  - 4\\{\log _2}x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne {2^{ - 4}}\\x \ne {2^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{1}{{16}}\\x \ne 4\end{array} \right..\)

Đặt \(t = {\log _2}x\). Khi đó phương trình đã cho trở thành: \(\frac{1}{{4 + t}} + \frac{2}{{2 - t}} = 1\,\,\left( {t \ne 2;\,\,t \ne  - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2 - t + 8 + 2t =  - {t^2} - 2t + 8 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - 2\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

+) Với \(t =  - 1 \Rightarrow {\log _2}x =  - 1 \Leftrightarrow x = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}\;\;\left( {tm} \right)\).

+) Với \(t =  - 2 \Rightarrow {\log _2}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\;\;\left( {tm} \right)\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

Chọn B.