Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính y’, đặt $t = \sin x$, xác định khoảng giá trị của t.

+) Xét phương trình $y' = 0$, đưa phương trình về dạng $f\left( t \right) = m$.

+) Hàm số ban đầu không có cực trị khi và chỉ khi phương trình $f\left( t \right) = m$ vô nghiệm trên khoảng t đã xác định.

+) Lập BBT hàm số $y = f\left( t \right)$ và kết luận.

Giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}y' = 2\cos 2x - 4\sin x + m\sqrt 2  = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) - 4\sin x + m\sqrt 2 \\\,\,\,\,\,\, =  - 4{\sin ^2}x - 4\sin x + 2 + m\sqrt 2 \end{array}$

Đặt $t = \sin x$, với $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]$

Khi đó $y' =  - 4{t^2} - 4t + 2 + m\sqrt 2 \,\,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]$

Để hàm số không có cực trị trên $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow$ Phương trình $y' = 0$ không có nghiệm thuộc $\left[ { - 1;1} \right]$.

Xét $y' = 0 \Leftrightarrow  - 4{t^2} - 4t + 2 + m\sqrt 2  = 0\,\,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]$

$\Leftrightarrow m\sqrt 2  = 4{t^2} + 4t - 2\,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\,$

$\Leftrightarrow m\sqrt 2  = f\left( t \right) = 4{t^2} + 4t - 2\,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\,$.

Ta có $f'\left( t \right) = 8t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 1}}{2}$.

BBT:

Để phương trình không có nghiệm thuộc $\left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m\sqrt 2  <  - 3\\m\sqrt 2  > 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \frac{{ - 3}}{{\sqrt 2 }}\\m > 3\sqrt 2 \end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3} \right\}$.

Chọn C.