Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai đườ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ tâm \({I_1};{I_2}\) và bán kính \({R_1};{R_2}\) của hai đường tròn.

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \({I_1};{I_2}\) khi tọa độ hai điểm \({I_1};{I_2}\) thỏa mãn hàm số \(y = f\left( x \right).\)

Xác định tiệm cận \(\Delta \) của đồ thị hàm số rồi dựa vào điều kiện tiếp xúc để tính toán.

Chú ý rằng: Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \(\left( {{C_1}} \right) \Leftrightarrow d\left( {{I_1};\Delta } \right) = {R_1}.\)

Giải chi tiết:

Ta có đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;2} \right)\) và bán kính \({R_1} = 1\)

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 1;0} \right)\) và bán kính \({R_2} = 1\)

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{x + c}}\) đi qua \({I_1};{I_2}\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{a + b}}{{1 + c}} = 2\\\dfrac{{ - a + b}}{{c - 1}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2c + 2\\ - a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2c + 2\\a = b\end{array} \right.\)

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{x + c}}\) có TCĐ \(\Delta :x =  - c \Leftrightarrow x + c = 0\)

Vì \(\Delta \) tiếp xúc với cả \(\left( {{C_1}} \right);\left( {{C_2}} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {1 + c} \right| = 1\\\left| { - 1 + c} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}c = 0\\c =  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}c = 0\\c = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow c = 0\)

Với \(c = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\a = b\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow a + b + c = 0 + 1 + 1 = 2.\)

Chọn B.