Cho tứ diện đều cạnh \(a,\) điểm \(I\) nằm trong t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh tổng khoảng cách từ \(I\) đến các mặt chính là độ dài đường cao của tứ diện.

Tính độ dài đường cao để suy ra tổng khoảng cách.

Giải chi tiết:

Giả sử \(ABCD\) là tứ diện đều và \(I\) là một điểm trong tứ diện. Gọi \(H\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\) Do \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(AH\) là đường cao của tứ diện. Theo giả thiết và theo công thức tính thể tích của tứ diện ta có

\(\begin{array}{l}{V_{ABCD}} = {V_{IABC}} + {V_{IABD}} + {V_{IBCD}} + {V_{IACD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right){S_{ABC}} + \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {ABD} \right)} \right){S_{ABD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {BCD} \right)} \right){S_{BCD}} + \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {ACD} \right)} \right){S_{ACD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}\left[ {d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) + d\left( {I,\left( {ABD} \right)} \right) + d\left( {I,\left( {BCD} \right)} \right) + d\left( {I,\left( {ACD} \right)} \right)} \right]{S_{BCD}}.\end{array}\)

Mặt khác ta lại có \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AH.{S_{BCD}}.\) Do đó tổng khoảng cách \(d = AH.\) Kéo theo \(d = AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

Chọn A.