Cho x.y là số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + {...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi bất đẳng thức đã cho để đánh giá điều kiện \(x > 1\), từ đó đánh giá \(P \ge f\left( x \right)\) rồi xét hàm \(f\left( x \right)\) và tìm GTNN của \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết:

Đặt \(P = x + 2y\)

Ta có: \({\log _2}x + {\log _2}y + 1 \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right) \Leftrightarrow xy.2 \ge {x^2} + 2y\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2y\left( {x - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 2y\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} \le 2y\) (do \(2y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2} > 0 \Rightarrow x - 1 > 0\))

\( \Rightarrow P = x + 2y \le x + \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} = \dfrac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}}\) (*)

Xét hàm \(f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}}\)  trên hai khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 4x + 1}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2} \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow f\left( {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}} \right) = 3 + 2\sqrt 2 \\x = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} \notin \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy GTNN của \(P\) là \(3 + 2\sqrt 2 \) khi \(x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2},y = \dfrac{{4 + 3\sqrt 2 }}{4}\)

Đáp án B