Cho \(x,\;y,\;z\) là ba số dương thỏa mãn: \(\sqrt...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Trước hết ta có BĐT quen thuộc sau với \(a,\;b,\;c > 0\)  thì : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}.\)

Thật vậy : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}} \Leftrightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9.\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}}\end{array} \right. \Rightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}} = 9.\)

Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c.\)

Áp dụng BĐT Cô-si quen thuộc : \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6 = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \sqrt {{y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {z^2}} \\ \le \sqrt {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + {x^2} + {x^2} + {y^2}} \right)}  = \sqrt {6{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 6.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}M = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} }}\\ \ge \frac{{6 - \left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{y^2} + {z^2}} }} + \frac{{6 - \left( {{x^2} + {z^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{x^2} + {z^2}} }} + \frac{{6 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\\ = \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {x^2}} \right)} }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt {{y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\\ \ge \frac{{6.9}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt {\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}  + \sqrt {\left( {{x^2} + {z^2}} \right)}  + \sqrt {\left( {{y^2} + {x^2}} \right)} } \right)}} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt {{y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\\ = \frac{{6.9}}{{6\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.6 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{y^2} + {z^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \sqrt {{x^2} + {z^2}}  = 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} = 4\\{x^2} + {y^2} = 4\\{z^2} + {x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} = {z^2} = 2 \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt 2 .\)

Vậy \(Min\;M = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) khi  \(x = y = z = \sqrt 2 .\)

Chọn C