Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau \({{\log...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình đã cho về \(2{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-4 \right)\) và đặt ẩn phụ \(t={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\) đưa về phương trình ẩn \(t\).

Xét hàm \(f\left( t \right)\) và tìm nghiệm của \(f\left( t \right)=0\) từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết:

Phương trình (1): \({{\log }_{\sqrt[4]{5}}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=2{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-4 \right)\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 3 > 0\\{x^2} - 2x - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 > 0\)

Vì \({{x}^{2}}-2x-4<{{x}^{2}}-2x-3,\forall x\in R\)

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-4 \right)\left( * \right)\)

Đặt \(t={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\)\(\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-3={{5}^{t}}\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-4={{5}^{t}}-1>0\Leftrightarrow t>0\)

Phương trình (*) trở thành: \(2t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{t}}-1 \right)\Leftrightarrow {{5}^{t}}-{{4}^{t}}-1=0.\)

Xét hàm số \(y\left( t \right)={{5}^{t}}-{{4}^{t}}-1\) trên \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Có \(y'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5-{{4}^{t}}\ln 4\).

Vì \({{5}^{t}}>{{4}^{t}},\forall t\in \left[ 0;+\infty  \right);\ln 5>\ln 4\) nên \({{5}^{t}}\ln 5-{{4}^{t}}\ln 4>0,\forall t\in \left( 0;+\infty  \right)\)

\(\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right)\)

Bảng biến thiên:

Mà \(f\left( 1 \right)=0\Rightarrow t=1\) là nghiệm duy nhất phương trình \(f\left( t \right)=0.\)

Với \(t=1\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=1\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-8=0\)

Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2.\)

Đáp án C.