Cho \(\Delta ABC\),\(AB<AC\), M là trung điểm c...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 - Chứng minh \(AB=NC\).

-  Áp dụng định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(\widehat{AMB}=\widehat{NMC}\) (đối đỉnh).

Vì M là trung điểm của \(BC\left( gt \right)\Rightarrow BM=MC\) (tính chất trung điểm)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta NCM\) có:

\(\left\{ \begin{align}  & AM=MN\left( gt \right) \\  & \widehat{AMB}=\widehat{NMC}\left( cmt \right) \\  & BM=MC\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta NCM\left( c-g-c \right)\Rightarrow AB=CN\) (2 cạnh tương ứng).

Mặt khác, \(AB<AC\left( gt \right)\Rightarrow CN<AC\).

Xét \(\Delta ACN\) có: \(CN<AC\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{NAC}<\widehat{ANC}\) hay \(\widehat{MAC}<\widehat{CNM}\left( 1 \right)\)  (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác). \(\Rightarrow \) đpcm

b) Lại có: \(\Delta ABM=\Delta NCM\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CNM}\left( 2 \right)\) (2 góc tương ứng).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\Rightarrow \widehat{BAM}>\widehat{MAC}\).

Tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt BC tại I thì \(\widehat{BAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}\) nhưng \(\widehat{BAM}>\frac{1}{2}\widehat{BAC}\) , do đó \(\widehat{BAI}<\widehat{BAM}\). Từ đó, suy ra điểm I nằm giữa hai điểm B và M. Vậy tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) nằm trong \(\widehat{BAM}\).  \(\Rightarrow \) đpcm.

c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(AE=AB\).

Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta AIE\) có:

\(AB=AE\left( gt \right)\)

\(\widehat{BAI}=\widehat{IAC}\) (tính chất tia phân giác)

AI chung

\(\Rightarrow \Delta AIB=\Delta AIE\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{AEI}=\widehat{B}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AEI}+\widehat{IEC}={{180}^{0}}\) (kề bù) nên suy ra \(\widehat{B}+\widehat{IEC}={{180}^{0}}\left( 3 \right)\)

Mặt khác, xét \(\Delta ABC\) có: \(\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\) (định lý tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}<{{180}^{0}}\left( 4 \right)\) . Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) ta có \(\widehat{IEC}>\widehat{C}\) .

Xét \(\Delta IEC\) có \(\widehat{IEC}>\widehat{C}\left( cmt \right)\Rightarrow IE<IC\)(quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Mặt khác, \(\Delta AIB=\Delta AIE\left( cmt \right)\Rightarrow IE=IB\)(2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow IC<IB.\) \(\Rightarrow \) đpcm.