Cho hypebol \((H):\frac{{{x^2}}}{4} - {y^2} = 1\)....

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng  d đi qua M(0; 2).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (H).

Sử dụng Vi-et, đánh giá để tìm đường thẳng d sao cho M  là trung điểm của AB.

Giải chi tiết:

Giả sử d có hệ số góc k, khi đó phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: \(y = k(x - 0) + 2 \Leftrightarrow y = kx + 2\)

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (H) là:

            \(\frac{{{x^2}}}{4} - {\left( {kx + 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4({k^2}{x^2} + 4kx + 4) = 4 \Leftrightarrow (1 - 4{k^2}){x^2} - 16kx - 20 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {( - 8k)^2} - (1 - 4{k^2}).( - 20) = 144{k^2} + 20 > 0,\,\,\forall k \Rightarrow (H) \cap (d)\) tại 2 điểm phân biệt với mọi k khác \( \pm \frac{1}{2}\).

Theo Vi-et: \({x_1} + {x_2} = \frac{{16k}}{{1 - 4{k^2}}}\)

M  là trung điểm của AB  \( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{16k}}{{1 - 4{k^2}}} = 2.{x_M} = 2.0 = 0 \Rightarrow k = 0\)\( \Rightarrow (d):\,\,\,y = 2\)

Dễ dàng kiểm tra được, đường thẳng \(x = 0\) (là một đường thẳng đi qua M(0; 2)) không cắt hypebol (H) \( \Rightarrow x = 0:\) Loại.

Vậy, \((d):\,\,\,y = 2\).

Chọn: C