Giải phương trình sau : \(\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét 3 trường hợp: \(\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x > 3\\x < 3\end{array} \right.\)

So sánh 2 vế VT và VP từ đó suy ra nghiệm duy nhất x.

Giải chi tiết:

\(\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } }  = x\,\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện:

Xét 3 trường hợp:

TH1: \(x = 3\) thay vào \((*)\) ta được :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + ...... + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3.3} } } } } }  = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + ...... + 2\sqrt {3 + 2.3} } } } }  = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + ...... + 2.3} } }  = 3\\ \Leftrightarrow ......\\ \Leftrightarrow 3 = 3\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow x = 3\) là nghiệm của phương trình.

TH2: \(x > 3\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x + 2\sqrt {3x}  < x + 2\sqrt {x.x}  = 3x < {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} }  < x + 2\sqrt {{x^2}}  = 3x < {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } }  < x + 2\sqrt {{x^2}}  = 3x < {x^2}\\.........\\ \Rightarrow \sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } }  < \sqrt {{x^2}}  = x\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khi \(x > 3\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

TH3: \(0 \le x < 3\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x + 2\sqrt {3x}  > x + 2\sqrt {x.x}  = 3x > {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} }  > x + 2\sqrt {{x^2}}  = 3x > {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } }  > x + 2\sqrt {{x^2}}  = 3x > {x^2}\\.........\\ \Rightarrow \sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } }  > \sqrt {{x^2}}  = x\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khi \(0 \le x < 3\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy \(x = 3\) là nghiệm duy nhất của phương trình.