Tập hợp A gồm n phần tử (n \( \ge \) 4). Biết rằng...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Số tập hợp con chứa k phần tử của A là \(C_n^k\).

+) Giải phương trình: \(C_n^4 = 20C_n^2.\)

Giải chi tiết:

Số tập hợp con chứa k  phần tử của A là \(C_n^k\).

Điều kiện: \(n \ge 4,\;n \in N.\)

Như vậy số tập con có chứ 4 phần tử và 2 phần tử của A  lần lượt là: \(C_n^4,\;\;C_n^2\) tập hợp.

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;C_n^4 = 20C_n^2 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{4!\left( {n - 4} \right)!}} = 20\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)!}}{{24\left( {n - 4} \right)!}} = \frac{{20n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{24}} = 10\\ \Leftrightarrow (n - 2)(n - 3) = 240\\ \Leftrightarrow {n^2} - 5n - 234 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\;\;\left( {tm} \right)\\n =  - 13\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để số tập hợp con chứa \(k\) phần tử của \(A\) là lớn nhất thì:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{18}^k \ge C_{18}^{k - 1}\\C_{18}^k \ge C_{18}^{k + 1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{18!}}{{k!\left( {18 - k} \right)!}} \ge \frac{{18!}}{{(k - 1)!\left( {19 - k} \right)!}}\\\frac{{18!}}{{k!\left( {18 - k} \right)!}} \ge \frac{{18!}}{{(k + 1)!\left( {17 - k} \right)!}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{k\left( {k - 1} \right)!\left( {18 - k} \right)!}} \ge \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {19 - k} \right)\left( {18 - k} \right)!}}\\\frac{1}{{k!\left( {18 - k} \right)\left( {17 - k} \right)!}} \ge \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)k!\left( {17 - k} \right)!}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{k} \ge \frac{1}{{19 - k}}\\\frac{1}{{18 - k}} \ge \frac{1}{{k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}19 - k \ge k\\k + 1 \ge 18 - k\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{17}}{2} \le k \le \frac{{19}}{2} \Rightarrow k = 9\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy tập hợp con chứa 9 phần tử thỏa mãn bài toán.

Chọn B